单源最短路径¶

dijkstra¶

dijkstra 算法可以在有权图（权值非负数）中求从起点到其他节点的最短路径算法。

需要注意两点：

dijkstra 算法可以同时求起点到所有节点的最短路径
权值不能为负数

dijkstra 算法和我们之前讲解的prim算法思路非常接近，同样是贪心的思路，不断寻找距离源点最近的没有访问过的节点。

重要

dijkstra三部曲：

第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
第二步，该最近节点被标记访问过
第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）

minDist数组用来记录每一个节点距离源点的最小距离。

    public int[] networkDelayTime(int[][] times, int n, int k) {
        boolean[] visited = new boolean[n + 1];
        int[] minDistance = new int[n + 1];
        int[][] edges = new int[n + 1][n + 1];

        Arrays.fill(minDistance, Integer.MAX_VALUE);
        for (int[] edge : edges) {
            Arrays.fill(edge, Integer.MAX_VALUE);
        }

        minDistance[k] = 0;
        visited[k] = true;
        for (int[] time : times) {
            int from = time[0];
            int to = time[1];
            int value = time[2];
            edges[from][to] = value;
        }

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            // select min k -> j
            int minValue = Integer.MAX_VALUE;
            int cur = k;
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (!visited[j] && minValue > minDistance[j]) {
                    minValue = minDistance[j];
                    cur = j;
                }
            }
            visited[cur] = true;

            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (!visited[j] && edges[cur][j] != Integer.MAX_VALUE && minDistance[j] > minDistance[cur] + edges[cur][j]) {
                    minDistance[j] = minDistance[cur] + edges[cur][j];
                }
            }
        }
        return minDistance;
    }

dijkstra 的代码看上去和 prim 算法很像，其是思想都是一样的，区别在于 minDist[] 代表的含义不同，那么更新 minDist[] 的方式也就不同。

prim 算法是求最小生成树的，其中的 minDist[j] 代表节点j到目前已经求得的最小生成树的最小距离，也就是有新节点cur加入后，minDist[j]=Math.min(minDist[j], grid[cur][j]), grid[cur][j]代表新加入的节点cur到节点j的距离
dijkstra 算法是求单源最短距离，，其中的 minDist[v] 代表节点v到起点的最小距离，也就是有新节点cur加入后，minDist[v]=Math.min(minDist[v], minDist[cur] + grid[cur][v])，grid[cur][v]代表新加入的节点cur到节点v的距离

// prim 更新 minDist[]
for (int j = 1; j <= v; j++) {
    if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) {
        minDist[j] = grid[cur][j];
    }
}

// dijkstra 更新 minDist[]
for (int v = 1; v <= n; v++) {
    if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
        minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
    }
}

dijkstra 堆优化版¶

import java.util.*;

class Edge {
    int to;  // 邻接顶点
    int val; // 边的权重

    Edge(int to, int val) {
        this.to = to;
        this.val = val;
    }
}

class MyComparison implements Comparator<Pair<Integer, Integer>> {
    @Override
    public int compare(Pair<Integer, Integer> lhs, Pair<Integer, Integer> rhs) {
        return Integer.compare(lhs.second, rhs.second);
    }
}

class Pair<U, V> {
    public final U first;
    public final V second;

    public Pair(U first, V second) {
        this.first = first;
        this.second = second;
    }
}

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int m = scanner.nextInt();

        List<List<Edge>> grid = new ArrayList<>(n + 1);
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            grid.add(new ArrayList<>());
        }

        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int p1 = scanner.nextInt();
            int p2 = scanner.nextInt();
            int val = scanner.nextInt();
            grid.get(p1).add(new Edge(p2, val));
        }

        int start = 1;  // 起点
        int end = n;    // 终点

        // 存储从源点到每个节点的最短距离
        int[] minDist = new int[n + 1];
        Arrays.fill(minDist, Integer.MAX_VALUE);

        // 记录顶点是否被访问过
        boolean[] visited = new boolean[n + 1];

        // 优先队列中存放 Pair<节点，源点到该节点的权值>
        PriorityQueue<Pair<Integer, Integer>> pq = new PriorityQueue<>(new MyComparison());

        // 初始化队列，源点到源点的距离为0，所以初始为0
        pq.add(new Pair<>(start, 0));

        minDist[start] = 0;  // 起始点到自身的距离为0

        while (!pq.isEmpty()) {
            // 1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过（通过优先级队列来实现）
            // <节点， 源点到该节点的距离>
            Pair<Integer, Integer> cur = pq.poll();

            if (visited[cur.first]) continue;

            // 2. 第二步，该最近节点被标记访问过
            visited[cur.first] = true;

            // 3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
            for (Edge edge : grid.get(cur.first)) { // 遍历 cur指向的节点，cur指向的节点为 edge
                // cur指向的节点edge.to，这条边的权值为 edge.val
                if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
                    minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
                    pq.add(new Pair<>(edge.to, minDist[edge.to]));
                }
            }
        }

        if (minDist[end] == Integer.MAX_VALUE) {
            System.out.println(-1); // 不能到达终点
        } else {
            System.out.println(minDist[end]); // 到达终点最短路径
        }
    }
}